Resume Materi Matriks

Resume Materi Matriks 

1)   Matriks

Definisi 1.1 Matriks merupakan susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks berukuran m × n dengan m baris dan n kolom.

Entri a_ij disebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j. Jika m = n maka matriks tersebut dinamakan matriks bujursangkar (square matrix). Matriks biasa dilambangkan dengan [ ] atau ( ).

Beberapa matriks khusus

a.       Matriks diagonal

Matriks diagonal merupakan matriks bujursangkar dengan a_ij = 0 untuk i ≠ j. Dengan kata lain, seluruh elemen yang tidak terdapat pada posisi i ≠ j bernilai 0

Contoh

Di bawah ini adalah contoh-contoh matriks yang berukuran 3 × 3 dan 2 × 2.

 

b.      Matriks Indentitas

Matriks identitas merupakan matriks bujursangkar dengan semua elemen diagonal bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai 0. Matriks ini dilambangkan dengan I.

Contoh

Di bawah ini adalah contoh- contoh matriks yang berukuran 3 × 3 dan 2 × 2.

  

c.       Matriks segitiga atas atau bawah

Matriks segitiga atas merupakan matriks bujursangkar dengan elemen matriks a_ij = 0 untuk i > j atau elemen-elemen matriks di bawah diagonal utama bernilai 0. Sedangkan, matriks segitiga bawah merupakan matriks bujursangkar dengan elemen matriks a_ij = 0 untuk i < j atau elemen-elemen matriks di atas diagonal utama bernilai 0.

Contoh

Di bawah ini adalah contoh- contoh matriks segitigas atas dan matriks segitiga bawah yang berukuran 3 × 3.

d.      Matriks traspose

Matriks trasnpose merupakan matriks yang diperoleh dengan menukarkan baris-baris dan kolom-kolom. Matriks ini dilambangkan dengan A^T.

Contoh

Di bawah ini adalah contoh matriks transpose (A^T) dari matriks A yang berukuran 3 × 3.

e.       Matriks setangkup

Matriks setangkup merupakan matriks dimana elemen yang berada di atas diagonal nya adalah hasil pencerminan dari elemen yang berada di bawah diagonal nya. Dengan kata lain, bagian atas dan bawah dari diagonal adalah sama. Dikatakan matriks setangkup jika matriks A^T = A.

Contoh

Di bawah ini adalah contoh matriks setangkup dari matriks A yang berukuran 3 × 3.

f.       Matriks 0/1

Matriks 0/1 merupakan matriks yang elemen-elemen nya hanya bernilai 0 atau 1.

Contoh

Di bawah ini adalah contoh - contoh matriks 0/1 yang berukuran 3 × 3 dan 2 × 2.

Operasi Matriks

a.       Penjumlahan dua buah matriks

Dua buah matriks dapat dijumlahkan jika memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

b.      Perkalian dua buah matriks

Dua buah matriks dapat dikalikan jika memiliki jumlah ordo baris pada matriks 1 sama dengan ordo kolom pada matriks 2. Artinya A_{m × r} × B_{r × n} = C_{m × n} .

Sifat-sifat operasi perkalian matriks :

1.     Pekalian matriks tidak komutatif, yaitu AB ≠ BA

2.     Sifat asoasiatif berlaku pada operasi perkalian matriks : (AB)C = A(BC)

3.     Sifat distributif berlaku pada operasi perkalian matriks :

·      A(B + C) = AB + AC (sifat distributif kiri)

·      (A+B) C = AC + BC (sifat distributif kanan)

4.     Perkalian matriks dengan matriks identitas tidak mengubah matriks, yaitu AI = IA = A

5.     Perpangkatan matriks didefinisikan sebagai berikut :

           

6.     A adalah matriks ortogonal jika AA^T = A^TA = I

c.       Perkalian matriks dengan skalar

Perkalian matriks dengan skalar dilakukan dengan mengalikan semua elemen pada matriks A dengan k.

Sumber : Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Penerbit Informatika, 2005.